14. Si $r=\frac{\sen5\beta+\sen3\beta}{\cos3\beta-\cos5\beta}$

Expert intro: La clave es transformar suma y diferencia de senos y cosenos con identidades trigonométricas. Luego se simplifica la expresión dada en función de $r$ y de $\beta$.

Detailed walkthrough

Usamos identidades trigonométricas:

$\sen A+\sen B=2\sen\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

$\cos A-\cos B=-2\sen\left(\frac{A+B}{2}\right)\sen\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Con $A=5\beta$ y $B=3\beta$:

$\sen5\beta+\sen3\beta=2\sen4\beta\cos\beta$

$\cos3\beta-\cos5\beta=2\sen4\beta\sen\beta$

Entonces

$r=\frac{2\sen4\beta\cos\beta}{2\sen4\beta\sen\beta}=\frac{\cos\beta}{\sen\beta}=\cot\beta$

Ahora calculamos:

$\sqrt{r^2+1}=\sqrt{\cot^2\beta+1}=\sqrt{\csc^2\beta}=\csc\beta$

Por tanto,

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