다항식 나눗셈 조건으로 나머지값 구하는 법

Key takeaway: 이 문제는 겉으로는 계산문제처럼 보이지만, 조건들 사이에 서로 맞물리는 부분을 먼저 점검해야 합니다. 나머지정리와 다항식의 최솟값 조건을 같이 보면, 값 하나만 찍는 방식으로는 풀리지 않는 지점이 드러납니다.

핵심 확인

주어진 조건을 그대로 읽으면 먼저 나눗셈에서

• $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$
• “몫과 나머지가 서로 같다” → $q(x)=r(x)$

이므로

$f(x)=g(x)q(x)+q(x)=q(x)(g(x)+1)$

가 됩니다.

(라)로부터 얻는 값

$f(x)$를 $(x-1)(x-2)$로 나눈 나머지를 $R(x)$라 하면, $R(x)$는 1차식입니다. 또

• $f(1)=0$ 이므로 $R(1)=0$
• $R(4)=120$

이어서

$R(x)=40(x-1)$

따라서

$R(2)=40$

입니다.

그런데 조건 (다)와의 충돌

조건 (다)는

$f(x)\ge f(2),\quad f(1)=0$

을 말하므로, 모든 실수 $x$에 대해 $f(2)$가 전역 최솟값이어야 합니다. 그런데 위에서 나온 정보만 보면 $f(2)=40$ 쪽으로 이어져서 $f(1)=0$과 정면으로 맞지 않습니다.

그래서 문항에는 오타나 누락이 있는 것으로 보입니다.

실전용 정리

• (라)만 보면 $R(x)=40(x-1)$
• 그래서 $R(3)=80$

문항이 원래 의도한 값이 $r(3)$인지, 아니면 $R(3)$인지 한 번 확인해 보는 게 좋습니다.

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Pitfalls the pros know 👇 이 유형은 조건 하나만 따로 떼어 계산하면 쉽게 틀립니다. 특히 ‘몫과 나머지가 같다’는 말은 $q(x)=r(x)$라는 뜻이지, 둘의 값이 같은 상수라는 뜻이 아닙니다. 또 $R(4)$ 같은 값은 나머지정리로 바로 연결되지만, 그것만으로 원래 다항식 전체가 완전히 정해진다고 착각하면 안 됩니다.

What if the problem changes? 만약 (다)의 부등호가 반대이거나, (라)의 수치가 다른 값이었다면 해가 하나로 정해질 수 있습니다. 이런 경우에는 먼저 $R(x)$를 구하고, 그다음 $f(1)$과 $f(2)$를 대입해 조건이 서로 일치하는지 확인하는 흐름이 가장 안전합니다.

Tags: 나머지정리, 다항식의 나눗셈, 전역 최솟값