Show that a set function on P(R) is a measure

Key takeaway: Bài này nhìn ngắn nhưng là dạng kinh điển của measure theory: một hàm được định nghĩa bằng cách cộng trọng số trên các số nguyên dương. Điểm mấu chốt là mọi thứ đều xảy ra trên tập đếm được, nên việc hoán đổi tổng là hợp lý.

Ta xét hàm $\mu(A)=\sum_{i\in A\cap\mathbb N}\frac1{2^i},\qquad A\subseteq\mathbb R.$

1) Không âm và giá trị của tập rỗng

Rõ ràng mọi hạng tử đều không âm, nên $\mu(A)\ge 0$. Với tập rỗng, $\mu(\varnothing)=\sum_{i\in\varnothing\cap\mathbb N}\frac1{2^i}=0.$

2) Cộng tính đếm được

Giả sử $\{A_k\}_{k=1}^\infty$ đôi một rời nhau. Với mỗi $n\in\mathbb N$, số $n$ chỉ có thể nằm trong nhiều nhất một tập $A_k$, nên $1_{\cup_{k=1}^\infty A_k}(n)=\sum_{k=1}^\infty 1_{A_k}(n).$

Do đó $\mu\Big(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\Big)=\sum_{n\in\mathbb N}\frac1{2^n}1_{\cup_k A_k}(n)=\sum_{n\in\mathbb N}\frac1{2^n}\sum_{k=1}^\infty 1_{A_k}(n).$

Vì tất cả các hạng tử đều không âm, ta đổi thứ tự tổng: $\mu\Big(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\Big)=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n\in\mathbb N}\frac1{2^n}1_{A_k}(n)=\sum_{k=1}^\infty\mu(A_k).$

Vậy $\mu$ là một độ đo trên $(\mathbb R,\mathcal P(\mathbb R))$.

3) Giá trị toàn không gian

Ta có $\mu(\mathbb R)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}=1.$

---

Pitfalls the pros know 👇 Điểm dễ sai là quên rằng $\mu$ chỉ nhìn thấy các số tự nhiên dương nằm trong tập $A$. Những phần tử không thuộc $\mathbb N$ không đóng góp gì cả. Một lỗi khác là đổi thứ tự tổng mà không nêu vì sao được phép; ở đây lý do là mọi hạng tử đều không âm, nên áp dụng được định lý hoán đổi tổng cho chuỗi không âm.

What if the problem changes? Nếu thay trọng số $2^{-i}$ bằng một dãy trọng số không âm $w_i$ sao cho $\sum_{i=1}^\infty w_i<\infty$, thì cùng một lập luận vẫn cho ta một độ đo trên $\mathcal P(\mathbb R)$ với tổng toàn không gian bằng $\sum_i w_i$. Nếu các trọng số không tổng hội tụ, ta vẫn có thể định nghĩa độ đo nhận giá trị $+\infty$.

Tags: countably additive, power set measure, indicator function